Simulazione della lubrificazione a getto di ingranaggi ad alta velocità

Con l’aumento della densità di potenza e requisiti sempre più stringenti per quanto riguarda l’affidabilità delle trasmissioni meccaniche a ingranaggi la lubrificazione è diventata un aspetto primario della progettazione. Questo articolo si propone di presentare due approcci multifase comprimibili Euleriani a Volumi Finiti sviluppati in ambiente open-source OpenFOAM® per la simulazione delle perdite di potenza di una coppia di ingranaggi cilindrici lubrificati a getto operante ad elevata velocità.

di Franco Concli

Studiare la lubrificazione di ingranaggi

Negli ultimi anni i progressi dell’informatica hanno promosso un rapido sviluppo di nuovi metodi di calcolo, ormai sempre più spesso integrati nelle pratiche di progettazione.

Anche l’industria degli ingranaggi ha abbracciato questa tendenza. In passato, i calcoli si basavano prevalentemente su metodi analitici/empirici e su base normativa. Tuttavia, gli approcci più recenti si basano sempre più su tecniche numeriche, come raccomandato dagli stessi standard qualora la precisione sia un aspetto fondamentale. Gli Elementi Finiti (FE), ad esempio, sono spesso impiegati per il dimensionamento degli ingranaggi così da mitigare la flessione al piede del dente ed i cedimenti per pitting grazie ad una ottimizzazione delle (micro)geometrie. Le tecniche numeriche vengono inoltre utilizzate per valutare il comportamento in termini di emissione acustica e vibrazioni (NVH), stabilire strategie di monitoraggio per il rilevamento dei danneggiamenti e altro ancora.

La lubrificazione è probabilmente, almeno nell’ultimo decennio, uno degli aspetti più studiati in ambito ingranaggistico. A tale scopo vengono utilizzati principalmente due metodi di simulazione: i Volumi Finiti (FV) e l’idrodinamica delle particelle o Smoothed-Particle-Hydrodynamics (SMH). Ogni metodo possiede una propria serie di vantaggi e porta con sé altrettante limitazioni risultando generalmente adatto per uno scopo specifico. Gli approcci basati su mesh (discretizzazione spaziale mediante griglia di calcolo) offrono una maggiore precisione ma richiedono più risorse computazionali, il che li rende ideali per stimare l’efficienza, le perdite di potenza e la coppia resistente nonché per studiare in modo dettagliato i fenomeni fisici correlati alla lubrificazione. Gli approcci mesh-less (e.g. SPH) sono più efficienti dal punto di vista computazionale ma anche meno precisi e quindi adatti per stime approssimative dei flussi di lubrificante (non a caso inizialmente erano stati ideati solamente per animazioni grafiche).

Perdite per ventilazione ed effetto della sospensione dell’olio

Tradizionalmente, le perdite di potenza per ventilazione fanno riferimento all’interazione di parti mobili (e.g. gli ingranaggi) con un singolo fluido monofase (aria). Negli ultimi anni, alcuni team hanno sottolineato l’importante ruolo della lubrificazione (sebbene spesso presente in quantità minime a seguito di una lubrificazione mirata a getto o spray) anche nelle perdite di potenza per ventilazione (o, come sarebbe meglio dire, “ventilazione umida”). In particolare, la distribuzione delle goccioline in sospensione (non visibile ad occhio nudo) risulta avere un impatto fondamentale sulla densità (mass-loading) e sulla viscosità della miscela (aria + goccioline) con un impatto diretto sul meccanismo di generazione e sull’entità delle perdite di potenza. L’analisi predittiva di tale fenomeno in ambito riduttoristico è ancora in una fase rudimentale.

La maggior parte degli approcci fa uso di modelli monofase in cui la presenza delle goccioline in sospensione viene del tutto trascurata. Altresì, le correlazioni empiriche esistenti in letteratura si basano su parametri dimensionali che sfruttano una densità di miscelazione e viscosità artificiali, spesso derivati da mass-loading stimati grossolanamento o ipotesi generali sull’omogeneità delle goccioline. Nel loro studio pionieristico, Imai et al. hanno condotto un’analisi numerica (CFD) multifase di un sistema con ingranaggi conici a spirale.

Gli autori hanno mostrato la capacità del metodo di acquisire i dettagli macrofisici della rottura del getto e del trasporto del liquido di lubrificazione. Tuttavia, è importante notare come il metodo presentato non risulti intrinsecamente in grado di catturare i dettagli della formazione e del trasporto di goccioline/nebbie su scale rilevanti (1-300 μm) per il mass-loading. Per catturare tali effetti sono infatti necessari metodi che tengano conto della dinamica del non equilibrio. Sulla base di ciò, in questo lavoro sono stati implementati e valutati due diversi approcci.

Approccio numerico alla simulazione della lubrificazione

Approcci basati su mesh

Gli approcci Euleriani basati su discretizzazione spaziale del dominio mediante griglia di calcolo sono spesso basati sul metodo dei Volume Finiti (FV).

Per ogni volume infinitesimale, viene formulato un insieme di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) in modo da garantire la conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia.

Quando si ha a che fare con più fasi, come nel caso della lubrificazione a bagno d’olio (sbattimento e quindi fasi ben separate da un’interfaccia) o della “ventilazione umida” (sospensione dell’olio e quindi fasi disperse), viene introdotta un’equazione di trasporto aggiuntiva per una quantità scalare nota come frazione di volume (γ). Questo parametro descrive la proporzione delle diverse fasi all’interno di ciascuna cella di calcolo. Le proprietà della miscela vengono quindi determinate come una media pesata su γ delle proprietà due fasi.

Tuttavia, per poter applicare questo approccio allo studio della lubrificazione delle trasmissioni a ingranaggi, serve affrontare una sfida aggiuntiva legata alla deformazione della mesh durante il funzionamento del riduttore. I cambiamenti topologici del dominio portano alla deformazione della griglia, che può essere solo parzialmente compensata da algoritmi di smoothing che ridistribuiscono la deformazione tra tutti gli elementi della mesh. Dopo diverse iterazioni, infatti, la deformazione della mesh compromette la convergenza numerica della simulazione.

Local vs global remeshing

Alcuni ricercatori hanno affrontato questo problema e proposto alcune soluzioni. Tra di esse vi è l’approccio chiamato Local Remeshing (LRA), in cui gli elementi problematici della mesh vengono eliminati e il “vuoto” risultante riempito con nuovi elementi in modo da mantenere la qualità delle celle al di sopra di una soglia minima. Sebbene efficace, questo metodo risulta inefficiente dal punto di vista computazionale, richiede frequenti aggiornamenti della griglia e porta ad una progressiva riduzione delle dimensioni degli elementi con il progredire della simulazione.

Il Global Remeshing Approach (GRA), sviluppato dal nostro gruppo di ricerca, prevede la sostituzione dell’intera griglia computazionale prima che la qualità si deteriori in modo significativo. Questo metodo consente un migliore controllo delle dimensioni degli elementi durante la simulazione, eliminando la necessità di una riduzione del passo temporale garantendo comunque un’ottima stabilità numerica. L’introduzione di interfacce arbitrarie (AMI) ha ulteriormente migliorato l’applicabilità del metodo anche ad architetture complesse.

Il metodo GRA è stato ulteriormente migliorato mediante l’introduzione del Mesh Clustering (GRA^MC). Questo ha permesso di estendere l’efficienza computazionale del calcolo anche in presenza di geometrie complesse. L’uso di interfacce arbitrarie (AMI) ha reso l’approccio GRA^MC efficiente anche in presenza di architetture multistadio.

Nonostante le sfide poste dalle deformazioni della griglia, il metodo a Volumi Finiti (FV) ha permesso in passato di simulare con successo diversi meccanismi di perdita (di potenza) legati alla lubrificazione.

Solutore multifase comprimibile e immiscibile

Come affermato in precedenza, sono stati implementati due diversi approcci per la simulazione della lubrificazione a getto d’olio degli ingranaggi. La prima, è un solutore per due (o più) fluidi immiscibili comprimibili, non isotermi, basato su un approccio che cattura l’interfaccia (VOF). Le equazioni alla base della soluzione sono le equazioni di continuità, bilancio della quantità di moto e dell’energia:

in cui ρ è la densità, U il vettore velocità, t è il tempo, p è la pressione, μ è la viscosità dinamica, C_P è il calore specifico, T è la temperatura e k la conducibilità termica. S_U e S_P rappresentano rispettivamente i termini sorgente di quantità di moto ed energia. Nell’approssimazione VOF, γ è definito pari a 1 nelle celle con una delle tue fasi (in questo caso l’olio), 0 nelle celle con solo l’altra fase (aria) e tra 0 e 1 nelle celle di interfaccia contenenti entrambe le fasi.

L’approccio VOF è più diffusivo ma conserva meglio la massa rispetto ad altri algoritmi di tracciamento dell’interfaccia come il metodo Level Set. Il metodo VOF è un approccio Euleriano in grado, in linea generale, di catturare efficacemente i cambiamenti nella topologia delle superfici in movimento, come, ad esempio, la fusione e la rottura delle bolle. La variabile frazione volumica γ rappresenta l’integrale della funzione χ all’interno di un determinato volume di controllo V:

Dato un campo di velocità, la funzione di frazione di volume deve soddisfare la teoria del trasporto:

Nel contesto del metodo VOF, il tracciamento comporta non solo il calcolo della frazione di volume ad ogni passo temporale, ma anche l’approssimazione e la ricostruzione dell’interfaccia. Sebbene questo metodo sia ottimale nel mantenere la conservazione del volume, il processo di ricostruzione dell’interfaccia pone sfide nel preservare la topologia dell’interfaccia.

Solutore multifase comprimibile con trasporto

Metodi come quello presentato nel paragrafo precedente che traccia l’interfaccia tra le fasi sono accurati solo se la dimensione della mesh ed il passo temporale sono ridotti a valori infinitesimali (simulazioni DNS). Sebbene questi approcci siano molto utili sulle mesoscale (nm), non sono compatibili con le dimensioni tipiche dei problemi industriali (mm). Per superare l’imprecisione relativa al metodo di tracciamento dell’interfaccia in presenza di griglie relativamente lasche rispetto alla lunghezza tipica del problema fisico di interesse (goccioline d’olio aventi dimensioni di alcuni μm vs. dimensione della griglia di qualche mm), è stato sviluppato un nuovo solutore. Il solutore si basa su una formulazione Euleriana-Euleriana in cui sia la fase continua, sia la fase dispersa sono trattate come fluidi continui compenetranti (dispersi), aventi campi di velocità indipendenti, modellati tramite le classiche equazioni di Navier-Stokes.

Un sistema multifase è idealmente costituito da un numero di regioni, contenenti ciascuna una singola fase, separate da interfacce mobili o fisse. Per descrivere un sistema di questo tipo, si può iniziare definendo le equazioni locali di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia per ogni fase, tracciando la posizione istantanea dell’interfaccia.

Sebbene questo approccio sia rigorosamente corretto nei casi in cui la dimensione della mesh e passo temporale tipici delle simulazioni DNS (Direct Navier Stokes), un’approssimazione computazionalmente efficiente richiede inevitabilmente l’uso di tecniche di mediazione per le equazioni di bilancio così da ottenere equazioni macroscopiche in grado di descrivere le caratteristiche medie del fluido con un onere computazionale ragionevole. La soluzione numerica risulta quindi più snella. Il processo di calcolo della media comporta l’introduzione di proprietà medie del fluido.

Equazioni di bilancio

Se consideriamo una regione V, fissata nello spazio e condivisa tra N fasi, è possibile ottenere le equazioni di bilancio di una variabile generica (vettoriale o scalare) φ. È possibile denotare V come l’unione di N sotto-regioni, ciascuna occupata da una diversa fase k. L’equazione di bilancio della variabile φ per un volume di controllo V, può essere scritta come segue, considerando l’interfaccia tra le fasi come una superficie geometrica senza massa:

dove A_I,jk(t) rappresenta l’interfaccia tra la fase j-esima e la fase k-esima, A_k(t) è la superficie del volume V_k(t), ρ_k è la densità della  fase k-esima, φ_k è la proprietà generica della fase k-esima, n_k usa il vettore normale all’interfaccia del volume occupato dalla fase k-esima, u_k è la velocità della  fase k-esima, J_k è il flusso molecolare dalla  fase k-esima, Φ_k e Φ_I,jk sono i termini sorgente e δ_jk è il delta di Kronecker.

Il termine sul lato sinistro dell’equazione rappresenta il termine di accumulo. Il primo termine sul lato destro è il termine convettivo, il secondo il termine diffusivo mentre il terzo e il quarto i termini sorgenti. Il termine di accumulo può essere riscritto in base al teorema di Leibniz e ai termini convettivi e diffusivi sfruttando il teorema di Gauss risultando in

L’equazione precedente dovrebbe essere soddisfatta per ogni V_k(t) e A_I,jk, quindi le generiche  equazioni di conservazione istantanea locale risultano in

Queste equazioni hanno una validità generale (potrebbero essere applicate a qualsiasi quantità estensiva). Le equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia possono essere ottenute sostituendo i valori elencati nella tabella.

Il processo di mediazione

Nei casi in cui non sia richiesto conoscere i più piccoli dettagli della fluidodinamica, compresa l’interfaccia esatta tra le fasi, si ricorre a tecniche di mediazione, che permettono di ricavare equazioni di conservazione mediate. Le tecniche di mediazione più comuni sono la media temporale, volumetrica e d’insieme. Il processo di mediazione avviene su un volume avente dimensione maggiore di quello della fase dispersa (alias le dimensioni delle goccioline di olio). In questo modo, però, si perdono tutte le informazioni di scala inferiore a quella su cui viene eseguita la mediazione. Per tenere conto di questo problema, vengono introdotti sotto-modelli, ottenuti con mezzi empirici, numerici o analitici.

In questa specifica applicazione, i sotto-modelli sono necessari principalmente per modellare l’effetto di trascinamento (drag) della fase continua (aria) su quella dispersa (lubrificante). La forza di trascinamento dipende sia dall’attrito superficiale dovuto alle sollecitazioni di taglio, sia dalla forma determinata dalla distribuzione non uniforme della pressione dovuta al movimento. Può essere espresso secondo la legge:

dove C_D,k è il coefficiente di resistenza aerodinamica (che può essere stimato con relazioni analitiche [33, 34]). Considerando che la dispersione dell’olio nel flusso d’aria favorisce la formazione di goccioline sferiche, l’area può essere calcolata a partire dal loro diametro d_b,k.

Questo termine aggiuntivo di resistenza aerodinamica è incluso nell’equazione di conservazione della quantità di moto per la fase dispersa (lubrificante).

Problema di interesse: lubrificazione di un riduttore ad ingranaggi

Il problema studiato con i solutori sopra menzionati è un semplice banco di prova back-to-back. La velocità del pignone è stata aumentata fino a Ωp = 5000 rpm, corrispondente a velocità tangenziali fino a 18.84 m/s. È stato utilizzato un olio per trasmissioni automatiche iniettato a θ=80 °C (viscosità di 14.8 cSt a 100 °C e 95.1 cSt a 40 °C). L’ingranaggio è stato lubrificato con un getto di portata d’olio di 1 l/min. L’ugello presentava tre fori di diametro 0.71 mm, garantendo una velocità media del getto di 14.4 m/s.

Modello numerico di lubrificazione

Il dominio computazionale è stato discretizzato con una griglia estrusa (4 milioni di elementi). La movimentazione è stata gestita tramite un approccio GRA^MC. Le simulazioni sono state lanciate alle condizioni operative di velocità di 2500 e 5000 giri/min. Le figure 1a e b mostrano la distribuzione dell’olio a Ωp = 2500 giri/min prevista dall’immiscibile e dai solutori Euleriani. Come previsto, il solutore immiscibile (VoF) non è in grado di tracciare correttamente l’interfaccia. Questo è dovuto alla scala inappropriata della griglia computazionale (mm) rispetto alla dimensione tipica delle goccioline d’olio (μm). Questo porta ad una non conservazione della massa con una “perdita” di olio. Al contrario, il solutore con trasporto (a fasi disperse) prevede la penetrazione del getto d’olio nel contatto, l’espulsione del lubrificante (sia assialmente, sia tangenzialmente), nonché l’accumulo del lubrificante sul fondo della cassa, con la formazione di un sottile film di lubrificante.

Risultati

Le figure 1c e d mostrano i campi di velocità della fase continua (aria) e della fase dispersa (olio) sui piani di simmetria. L’aria viene espulsa radialmente a causa degli effetti centrifughi (come precedentemente dimostrato dagli autori). L’olio, modellato come una nuvola di goccioline, mostra traiettorie che derivano da una condizione di equilibrio tra le forze di trasporto (dovute al flusso d’aria), la gravità e, appunto, la resistenza aerodinamica (drag). Dopo l’ingranamento, la maggior parte dell’olio depositato sui fianchi dei denti cade sul fondo dell’alloggiamento. Genera così un cono di scarico che dipende principalmente dalla velocità dell’ingranaggio (Figura 1e e f) – maggiore è la velocità, minore è l’angolo. Tuttavia, una nebbia d’olio si genera nelle immediate vicinanze dei denti (Figura 1d) e questo è responsabile dell’aumento delle perdite di potenza.

La Figura 2 mostra i risultati in termini di perdite di potenza a diverse velocità di rotazione. Le linee rappresentano i risultati sperimentali secondo letteratura, i resti del nuovo solutore con trasporto, ed i risultati del solutore immiscibile. Il diagramma mostra chiaramente i miglioramenti garantiti dalla nuova formulazione.

Conclusioni

In questo articolo, abbiamo sviluppato un nuovo solutore multifase comprimibile con trasporto e applicato per simulare la lubrificazione a getto d’olio. Abbiamo confrontato i risultati sia con i dati sperimentali che con la previsione numerica di un solutore immiscibile multifase standard. La formulazione Euleriana con un modello di trascinamento ha permesso di modellare meglio i fenomeni di sospensione dell’olio e il suo impatto sulla dissipazione di potenza.

Tuttavia, sebbene la portata del getto influenzi il livello di sospensione dell’olio, non è l’unico fattore. Altri fattori come le proprietà delle goccioline giocano un ruolo fondamentale nel definire la sospensione e la distribuzione dell’olio. Ciò ha due implicazioni: 1) misurare sperimentalmente le portate di lubrificazione non è sufficiente per la validazione; conoscere la dimensione media delle gocce d’olio è un input necessario per prevedere correttamente la sospensione/distribuzione dell’olio e, di conseguenza, le perdite di potenza; 2) non è possibile “definire direttamente” la sospensione; questo è un output del calcolo. Quindi, anche se l’aumento del flusso di olio aumenterà il mass-loading di equilibrio nel sistema, la relazione non sarà lineare. A questo proposito, ulteriori studi saranno condotti con il presente approccio numerico una volta raccolti nuovi dati sperimentali.

Dichiarazioni

La presente ricerca si colloca nell’ambito del progetto GearJet con il supporto di GEARlab – Ohio State University.